Volný pád

Volný pád s nulovou počáteční rychlostí:

Platí že:

$v$ je rychlost
$g$ je tíhové zrychlení které se na naší Zemi rovná přibližně $9.81$
$t$ je čas
$h$ je výška

Pokud potřebujeme vědět rychlost:

$v = gt$

Příklad: Jakou rychlostí dopadne kočka na zem která spadla z budovy vysoké $30m$ (pouze myšlenkový experiment).

Je to vlastně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí, takže tohle bude asi pro některé jednoduché. Je to podovné jako vzorec $v = at$, ale $a$ je $g$, neboli tíhové zrychlení země, takže $v = 9.81\cdot t$. Dále nevíme čas, ale ten zjistíme dalším vzorcem.

Pokud potřebujeme vědět čas:

$t = {\displaystyle \sqrt{ \frac{2h}{g}}}$

Čas vypočítáme tak že vynásobíme dvakrát výšku, vydělíme tíhovým zrychlením a to celé odmocníme. Takže víme že chudák kočka padá z $30m$, krát dva to je $60$, $60$ děleno $9.81$ je přebližně $6.11$ a tohle odmocníme a vyjde nám $2.47$. Výsledek je $2.47s$. Takže dosadíme $v = 9.81\cdot 2.47$, $v = 24.2307m/s$. V skutečnosti je to o trošku lepší protože jsme zanedbali odpor vzduchu, ale i tak se jí to líbit nebude.

Pokud potřebujeme vědět výšku:

$h = {\displaystyle \frac{1}{2}}gt^2$

Výšku vypočítáme tak že vynásobíme jednu polovinu $g$ druhou mocninou času. Takže pokud by jsme si to chtěli ověřit tak můžeme dosadit $h = {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 9.81\cdot 2.47^2$. Když to vypočítáme vyjde nám $29.9249145$, což bude kvůli zaokrouhlování. Takže teď už víme jak to s koťátkem dopadlo, tak můžeme jít dál.

Volný pád s počáteční rychlostí větší než nula:

Pokud je počáteční rychlost jiná než nulová (je třeba vrženo), jedná se o trochu jinou situaci. Platí že:

$v_0$ je počáteční rychlost

Vzorce by byly následující:

$v = v_0 + gt$
$h = v_0\cdot t + {\displaystyle \frac{1}{2}}gt^2$

Rovnice pokud počítáme s odporem vzduchu

První věc kterou si můžeme spočítat je síla odporu vzduchu. Vzorec je docela jednoduchý.

$F = k\cdot v^2$

Jak můžeme vidět, síla závisí na čtverci rychlosti takže neroste lineárně. A teď si nejspíš říkáte co je to $k$, že?

$k = {\displaystyle \frac{\rho \cdot A \cdot C}{2}}$

Zde vidíme vzorec, kde $k$ je koeficient odporu vzduchu. Dále platí že:

$\rho$ hustota (kg/m$^3$) kapaliny kde počítáme volný pád s odporem: vzduch, voda, metan atd
$A$ je plocha průřezu padajícího tělesa
$C$ je činitel odporu (bezrozměrná jednotka) vztahující se k tvaru tělesa

Víme že $F = mg$. Dále platí jak jsme si řekli výše že:

$mg = {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \rho\cdot v^2\cdot C_d\cdot A$

Pokud potřebujeme vědět konečnou rychlost, upravíme ho tak aby jsme počítali $v$ ($v_t$ = terminal velocity):

$v_t = {\displaystyle \sqrt{ \frac{2\cdot m\cdot g}{\rho \cdot C_d \cdot A}}}$

Dále platí že:

m = hmotnost v kilogramech
g = tíhové zrychlení země (nebo pokud to chcete počítat na jiné planetě proč ne)

Můžeme si dát příklad s odporem vzduchu, ale vzorec funguje i třeba pro vodu (stačí změnit $\rho$). Myslíte že bude padat rychleji člověk, který padá břichem dolů nebo bowlingová koule? Jelikož budeme brát že budou padat z velké výšky, můžeme zanedbat zrychlování, protože to je rychlé a nebude to mít na výsledek takový vliv. Vliv by to mělo pokud by jsme je hodili z malé výšky. Takže nám stačí vypočítat konečnou rychlost. Takže dosadíme všechny neznámé. Bowlingová koule může vážit cca $6kg$, člověk třeba $80kg$. Plocha průřezu bowlingové koule je $0.0107m$, to se dá vypočítat jednoduše stačí si najít poloměr a pak jednoduše vypočítat obsah (teďka se bere jen obsah). S člověkem už to bude ale složitější a uplně nevím jak to jednoduše vypočítat, takže pro naše účely myslím že postačí když dáme hodnotu $1m^2$ (2$\cdot$0.5). Tíhové zrychlení je na zemi přibližně $9.81$. Dále máme činitel odporu, ten je u koule $0.47$, a u člověka je něco okolo $1 – 1.3$ protože všichni lidi nejsou stejní.

Člověk: Bow. koule

$m = 80$
$A =1$
$\rho$ = 1.225$
$C = 1.2$
$g = 9.81$

$m = 6$
$A = 0.0107$
$\rho$ = 1.225$
$C = 0.47$
$g = 9.81$

Pokud to chcete lépe pochopit, můžete se podívat na tohle video.

Padají těžší věci rychleji než lehčí?

V letech 1589 až 1592 italský vědec Galileo Galilei (tehdejší profesor matematiky na univerzitě v Pise ) údajně shodil ze šikmé věže v Pise dvě koule o stejném objemu, ale různé hmotnosti , aby prokázal, že čas za který dopadnou na zem je nezávyslý na jejich hmotnosti. Základní premisu prokázal již Ital experimentátoři o několik desetiletí dříve.

Podle příběhu Galileo prostřednictvím tohoto experimentu zjistil, že objekty padaly se stejným zrychlením, což potvrdilo jeho předpověď pravdivou, a zároveň vyvrátil Aristotelovu teorii gravitace ( která říká, že objekty padají rychlostí úměrnou jejich hmotnosti). Většina historiků to považuje spíše za myšlenkový experiment než za fyzický pokus.

Vzhledem k rychlosti, s jakou by k takovému pádu došlo, je pochybné, že by toho experimentu mohl Galileo zjistit mnoho. Většina jeho pozorování padajících těles byla ve skutečnosti tělesa kutálející se po rampách. To průběh zpomalilo natolik, že byl schopen měřit časové intervaly vodními hodinami a vlastním pulzem (stopky ještě nebyly vynalezeny). Opakoval to tolikrát, dokud nedosáhl “přesnosti takové, že odchylka mezi dvěma pozorováními nikdy nepřesáhla jednu desetinu tepu.”

Takže závěr je, že hmotnost tělesa nemá přímo vliv na rychlost, pokud nepočítáme odpor vzduchu. Jinak nám je jasné že peříčko ptáka na zem dopadne později než kladivo. Kladivo má větší hmotnost a proto lépe překonává odpor vzduchu.

Nebo hmotnost tělesa například zvyšuje maximální dosažitelnou rychlost pokud by bylo spuštěno z nekonečné výšky. Těleso nezrychluje donekonečna ale má hranici maximální rychlosti.

Zdroje: