Kvadratické rovnice

Osnova

• Co jsou to kvadratické rovnice?
• K čemu se dají využít?
  • Ve fyzice!
  • V inženýrství
  • V ekonomii
• Jak se počítají?
  • Co je to diskriminant?
  • Jak s diskriminantem počítáme?

Co jsou to kvadratické rovnice?

Kvadratická rovnice je algebraická rovnice druhého stupně, neboli rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá je umocněna na druhou.

V základním tvaru vypadá takto:

$a{x}^2+bx+c=0$

Hodnoty $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla (ale můžou být i komplexní čísla) a přitom platí že $a\ne 0$ protože jinak se jedná o lineární rovnici.

$x$ je neznámá (také se muže jednat o komplexní číslo).

Jednotlivé členy nazýváme:

• $a{x}^2$ jako kvadratický člen,
• $bx$ jako lineární člen,
• $c$ jako absolutní člen.

Kvadratická rovnice, která nemá lineární člen:

$a{x}^2+c=0$

Se nazývá ryze kvadratická rovnice.

Kvadratická rovnice, která nemá absolutní člen:

$a{x}^2+bx=0$

se nazývá kvadratická rovnice bez absolutního členu.

K čemu se dají využít?

Ve fyzice!

Kvadratické rovnice se ve fyzice používají k řešení problémů týkajících se pohybu. Například:

• K určení vzdálenosti, kterou objekt urazí při konstantním zrychlení.
• K vypočtu vzdálenosti objektu, který byl svisle vržen do vzduchu.
• K vypočtu trajektorie částice v magnetickém poli.

A jistě se najde nepřeberné množství dalších problémů, které se řeší pomocí kvadratických rovnic.

v Inženýrství

V inženýrství se používají k řešení problémů tykajících se sil, momentu a dalších fyzikálních veličin. Například:

• K vypočtu ohybového momentu trámu.
• K určení nejefektivnějšího úhlu umístění pro satelit, aby měl nejefektivnější přenos signálu.

A jak jsem řekl má určitě další stovky využití.

Jako například také v ekonomii.

v Ekonomii

V ekonomii se kvadratické rovnice používají k modelovaní různých jevů. Například:

• Vztah mezi výrobou a prací nebo výrobními náklady.
• K optimalizaci výrobních procesů a minimalizaci nákladů.

Kvadratické rovnice jsou snad všude kam se podíváte. Jen musíte hledat.

Jak se počítají?

Obecná kvadratická rovnice se řeší pomocí diskriminantu.

Co je to diskriminant?

Diskriminant je mnohočlen, pomocí něhož můžeme vypočítat řešení obecné kvadratické rovnice, případně určit, zda rovnice má řešení a kolik takových řešení má.

Dá se říct že je to vzorec, který nám řekne něco o určité rovnici.

Jak s diskriminantem počítáme?

Diskriminant se označuje velkým „D“ a pro kvadratickou rovnici má hodnotu:

$D=b^2-4\cdot a\cdot c$

Příklad:

Máme kvadratickou rovnici $-9x^2+3x+1$. Pro tuto rovnici platí: $a=-9$, $b=3$, $c=1$. Diskriminant vypočítáme takto:

$D=3^2–4\cdot (-9)\cdot 1=9+36=45$

Takže $D=45$. Co nám to řeklo?

Pokud diskriminant vyjde:

• kladný, rovnice má dva různé reálné kořeny,
• nulový, rovnice má dva stejné reálné kořeny,
• záporný, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. V komplexních, ale řešení už najdeme.

Můžeme díky němu vypočítat také jednotlivé kořeny rovnice. Vzorec pro jejich vypočet:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

S rozepsaným diskriminantem vzorec vypadá takto:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Tak a teď příklad. Použijeme kvadratickou rovnici z dřívějška $-9x^2+3x+1$. Už víme že $D=45$ a že $a=-9$, $b=3$, $c=1$. Takže můžeme jen dosadit zbytek:

$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{45}}{2(-9)}$

Protože diskriminant je kladný tak u prvního kořenu budeme odmocninu přičítat a u druhého ji budeme odčítat.

$x_1=\frac{-3+\sqrt{45}}{2(-9)}=\frac{3.708}{-18}=-0.206$

První kořen nám vyšel $x_1=-0.206$. Druhý vypočítám odečtením mocniny:

$x_2=\frac{-3-\sqrt{45}}{2(-9)}=\frac{-9.708}{-18}=0.539\bar{3}$

A druhý kořen nám vyšel $x_2=0.539\bar{3}$.

 

Zdroje

• Matematika polopatě – Kvadratické rovnice
• Matematika polopatě – Diskriminant
• Wikipedie – Kvadratická rovnice