Osnova
Výrok je základní pojem v matematické logice. Každé sdělení, o němž má smysl tvrdit, že je pravdivé (platí), nebo nepravdivé (neplatí) je výrok. Výroku je přiřazena pravdivostní hodnota (je pravda = 1; není pravda = 0). Výroky se často označují
Co je to logika?
Logika je věda, která se zabývá usuzováním, pravdivostí, dokazatelností a vyvratitelností. Přitom všem jde v logice pouze o formu sdělení, nezajímá nás, co konkrétně je sdělováno.
Pokud máme například větu „číslo 14 je sudé a zároveň je prvočíslo“, tak můžeme usoudit, že celá věta není pravdivá, protože číslo 14 není prvočíslo. To jsou věci, které obecně řeší logika.
Jaké jsou typy výroků?
Jednoduchý výrok
Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. Například:
- Včera pršelo.
- 79 je prvočíslo
- 2 je sudá
Jsou z logického hlediska dále nedělitelné.
Jednoduché výroky budeme dále značit malými písmeny abecedy jako p, q, r, … a budeme jim říkat výrokové symboly.
Složený výrok (formule)
Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek.
Výrokové spojky
Máme 5 základních výrokových spojek:
- negace: $\neg q$, slovně „q není pravda“
- konjunkce: $q \wedge p$, občas se zapisuje jako AND, slovně „q a zaroveň p“
- disjunkce: $q \vee p$, také OR, slovně „q nebo p“
- implikace: $q \Rightarrow p$, slovně „jestliže q, pak p“
- ekvivalence: $q \Leftrightarrow p$, slovně „q právě tehdy, když p“, nebo „q tehdy a jen tehdy p“
Konkrétní příklady výrokových spojek:
- V centru Ostravy prší a zároveň svítí slunce. (konjunkce)
- V centru Ostravy prší nebo svítí slunce. (disjunkce)
- Jestliže je číslo x dělitelné čtyřmi, pak je i dělitelné dvěma (implikace)
- Nakupuji právě tehdy, když mám peníze. (ekvivalence)
Negace
Negace $q$ výroku je výrok $\neg q$, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok $q$. Slovně: není pravda, že…
Konjunkce a disjunkce se negují podle De Morganových zákonů.
| Logická operace | Výroková formule | Negace |
|---|---|---|
| konjunkce | $q \wedge p$ | $\neg(q \wedge p) \Leftrightarrow \neg q \vee \neg p$ |
| disjunkce | $q \vee p$ | $\neg(q \vee p) \Leftrightarrow \neg q \wedge \neg p$ |
Také mužeme nahradit implikaci disjunkcí pomocí negace nebo prohodit $q$ a $p$:
$(q \Rightarrow p) = (\neg q \vee p)$
$(q \Rightarrow p) = (\neg q \Rightarrow \neg p)$
Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků
Pravdivostní tabulka pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:
| $q$ | $p$ | $\neg q$ | $\neg p$ | $q \wedge p$ | $q \vee p$ | $q \Rightarrow p$ | $q \Leftrightarrow p$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí.
- Je-li konjunkce ($q \wedge p$) dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá (nebo obě).
- Je-li disjunkce ($q \vee p$) dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá (nebo obě). Je-li disjunkce dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé.
- Je-li implikace ($q \Rightarrow p $) dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý.
- Je-li ekvivalence ( $q \Leftrightarrow p$) dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé. V podstatě to znamená že mají stejnou pravdivostní hodnotu. Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.
Zdroje
- Matematika polopatě – Výroky
- Wikipedie – Výrok (logika)
- Knihy:
- Přehled středoškolské matematiky – Josef Polák
Napsat komentář